Bộ Giáo dục và Đào tạo - Dự án Phát triển Giáo dục THPT
Một số ví dụ thực tế
Quỹ đạo của các hành tinh: Quỹ đạo của các hành tinh trong hệ mặt trời
Bóng của một số vật: Bóng của một số vật hình tròn
Định nghĩa
Cách vẽ đường elip: Quan sát vết do chuyển động của bút chì để lại trên mặt bảng gỗ
Vết do chuyển động của bút chì để lại trên mặt bảng gỗ được gọi là đường elip Định nghĩa: Định nghĩa
Nhận xét gì về tổng latex(MF_1+ MF_2)? latex(MF_1 + MF_2 =) không đổi Định nghĩa: Cho hai điểm cố định latex(F_1 và F_2), với latex(F_1 F_2) = 2c (c > 0) Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M sao cho latex(MF_1+ MF_2) = 2a, trong đó a là số cho trước lớn hơn c. Hai điểm latex(F_1 và F_2) gọi là các tiêu điểm của elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip Ptrình chính tắc của elip
Bài tập lý thuyết: Bài tập lý thuyết
Cho elip (E) như trong định nghĩa trên. Chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng latex(F_1F_2). Trục Oy là đường trung trực của latex(F_1F_2) và latex(F_2) nằm trên tia Ox. ?1: Xác định toạ độ hai tiêu điểm latex(F_1, F_2)? ?2: Giả sử điểm M(x, y) nằm trên elip (E). Tính: latex(MF_1^2 - MF_2^2). ?3: Biết: latex(MF_1 + MF_2) = 2a Chứng minh rằng: latex(MF_1 = a + (cx)/a); latex(MF_2 = a - (cx)/a Hướng dẫn: Hướng dẫn giải bài tập lý thuyết
?1: Theo định nghĩa đường elip: latex(F_1F_2) = 2c Có latex(OF_1) = latex(OF_2) = c Mà latex(F_1, F_2) latex(in) Ox nên toạ độ hai điểm latex(F_1, F_2) là: latex(F_1) = (-c; 0) và latex(F_2) = (0; c) ?2: latex(MF_1^2 = (-c -x)^2 + (0 - y)^2 = c^2 + 2cx + x^2 + y^2) latex(MF_2^2 = (c -x)^2 + (0 - y)^2 = c^2 - 2cx + x^2 + y^2) latex(MF_1^2 - MF_2^2 = 4cx ?3: Có latex(MF_1 + MF_2) = 2a (1) latex(MF_1^2 - MF_2^2 = (MF_1 + MF_2)(MF_1 - MF_2)) latex(4cx = 2a.(MF_1 - MF_2) nên (MF_1 - MF_2) = (2cx)/a (2) Từ (1) và (2) suy ra: latex(MF_1 = a + (cx)/a); latex(MF_2 = a - (cx)/a Dẫn dắt:
Có latex(MF_1 = a + (cx)/a = sqrt((x + c)^2 + y^2)) latex((a + (cx)/a)^2 = (x + c)^2 + y^2) Rút gọn đẳng thức trên ta có: latex((x^2)/(a^2) + (y^2)/(a^2 - c^2) = 1 latex(a^2 - c^2 > 0) nên đặt: latex(a^2 - c^2 = b^2, b > 0). Ta có: latex((x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 (a > b > 0) (1) Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của elip Phương trình chính tắc của elip: Phương trình chính tắc của elip
Phương trình chính tắc của elip: latex((x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 (a > b > 0)) Trong đó: - latex(F_1 và F_2) : tiêu điểm của elip. - Khoảng cách latex(F_1F_2) = 2c : tiêu cự của elip. - Các đoạn thẳng latex(MF_1 và MF_2) : bán kính qua tiêu của điểm M. Bài tập 1: Bài tập 1
Mỗi câu sau đúng hay sai:
Đường elip latex((x^2)/5+(y^2)/4=1) có tiêu cự bằng 3
Đường elip latex((x^2)/9+(y^2)/6=1) có một tiêu điểm là latex((-sqrt(3); 0)
latex(MF_1, MF_2) với latex(x_M=1) của (E) latex((x^2)/16+(y^2)/12=1) tương ứng là 3 và 5
latex(MF_1, MF_2) với latex(x_M=-13) của (E) latex((x^2)/169+(y^2)/144=1) tương ứng là 8 và 18
Bài tập 2: Bài tập 2
Phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(2; 1) và có tiêu cự bằng latex(2sqrt(3))là:
latex((x^2)/8+(y^2)/2=1)
latex((x^2)/8+(y^2)/5=1)
latex((x^2)/6+(y^2)/3=1)
latex((x^2)/9+(y^2)/4=1)
Hình dạng của elip
Hình dạng của elip: Hình dạng của elip
Cho điểm M(x; y) thuộc elip (E) nên các điểm: latex(M_1(-x; y), latex(M_2(x; -y), latex(M_3(-x; -y)) cũng thuộc (E) Vậy (E) có trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O. Đối với elip có phương trình chính tắc: latex((x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1) (E) cắt trục Ox tại hai điểm latex(A_1(-a, 0) và A_2(a, 0) (E) cắt trục Oy tại hai điểm latex(B_1(0, -b) và B_2(0, b) - latex(A_1, A_2, B_1, B_2) là các đỉnh của elip (E). - Đoạn thẳng latex(A_1A_2) là trục lớn của elip (E). Đoạn thẳng latex(B_1B_2) là trục nhỏ của elip (E). - Hình chữ nhật PQRS là hình chữ nhật cơ sở của elip (E). Vẽ elip :
Vẽ elip (E) có phương trình: latex((x^2)/4 + (y^2)/1 = 1) Elip (E) có: a = 2; b =1, tiêu điểm latex(F_1(-sqrt(3); 0)) và latex(F_2(sqrt(3); 0) Hình chữ nhật cơ sở QMNP: Q(-2; 1), M(2; 1), N(2; -1), P(-2; -1) Hình chữ nhật cơ sở cắt Ox tại hai điểm: latex(A_1(-2; 0), A_2(2; 0)) và cắt Oy tại hai điểm: latex(B_1(-1; 0), B_2(1; 0). Elip cần vẽ là đường cong đi qua bốn điểm latex(A_1, A_2, B_1, B_2) Tâm sai của elip: Tâm sai của elip
Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip gọi là tâm sai của elip và được kí hiệu là e latex(e = c/a), 0 < e < 1 Ví dụ: Cho elip (E) có phương trình latex((x^2)/9+(y^2)/4)=1 Tìm tâm sai của elip (E). Bài giải: Elip (E) có latex(a^2 = 9; b^2 = 4) Vì latex(a^2 - c^2 = b^2) nên latex(c^2 = 5) => Do đó latex(c = sqrt5) Mà latex(a^2 = 9) => a = 3 (a>0) Vậy tâm sai của elip (E): latex(e=c/a=(sqrt5)/3 Bài tập 3: Bài tập 3
Tâm sai của elip latex((x^2)/16+(y^2)/7=1) bằng:
latex(3/4)
latex(3/16)
latex(3/7)
latex(7/16
Bài tập 4: Bài tập 4
Ghép mỗi phương trình chính tắc của (E) ở bên phải vào các phương án để được mệnh đề đúng
Elip có tâm sai bằng 1/3 và trục lớn bằng 6 là:
Elip đi qua điểm (6; 0) và có tâm sai bằng 1/2 là:
Elip có tiêu cự bằng 6 và trục lớn bằng 10 là:
Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M(4; 3) là:

Liên hệ giữa đường tròn và elip
Đường tròn và elip: Liên hệ giữa đường tròn và elip
Mô tả: Giãn elip thành hình tròn Có: latex(b^2 = a^2 - c^2) Do đó: latex(b/a = sqrt(a^2-c^2)/a = sqrt(1 - e^2) Mô tả: Co hình tròn thành elip Như vậy tiêu cự của elip càng nhỏ (c càng nhỏ) thì b càng gần bằng a (trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn). Khi đó elíp có dạng gần như đường tròn.