Bộ Giáo dục và Đào tạo - Dự án Phát triển Giáo dục THPT
Một số ví dụ thực tế
Ánh sáng hắt lên từ đèn: Quan sát vùng sáng hắt lên từ một đèn bàn
Vùng sáng do đèn hắt lên tường cho ta mô hình của đường Hypebol Định nghĩa
Vẽ đường (H) trong thực tế: Cách vẽ đường hypebol
Đầu bút chì sẽ vạch nên đường cong gọi là đường Hypebol. Định nghĩa:
Định nghĩa: Cho hai điểm cố định latex(F_1, F_2) có khoảng cách latex(F_1 F_2) = 2c (c > 0) Đường Hypebol(hay còn gọi Hypebol) là tập hợp các điểm M sao cho: latex(MF_1 - MF_2) = 2a, trong đó a là số dương cho trước nhỏ hơn c. Hai điểm latex(F_1 và F_2) là các tiêu điểm của Hypebol. Khoảng cách latex(F_1F_2) = 2c là tiêu cự của Hypebol. Ptrình chính tắc của hypebol
Bài tập 1: Bài tập 1
Cho hypebol (H) như trong định nghĩa trên. Chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng latex(F_1F_2). Trục Oy là đường trung trực của latex(F_1F_2) và latex(F_2) nằm trên tia Ox ?1: Xác định toạ độ hai tiêu điểm latex(F_1, F_2)? ?2: Giả sử điểm M(x, y) nằm trên hypebol (H). Tính: latex(MF_1^2 - MF_2^2). ?3: Biết latex(MF_1 + MF_2) = 2a Chứng minh rằng: latex(MF_1 = a + (cx)/a); latex(MF_2 = a - (cx)/a Hướng dẫn: Hướng dẫn giải bài tập 1
?1: Theo định nghĩa latex(F_1F_2) = 2c Có latex(OF_1) = latex(OF_2) = c Mà latex(F_1, F_2)latex(in) Ox nên => latex(F_1) = (-c; 0) và latex(F_2) = (0; c) ?2: latex(MF_1^2 = (-c -x)^2 + (0 - y)^2 = c^2 + 2cx + x^2 + y^2) latex(MF_2^2 = (c -x)^2 + (0 - y)^2 = c^2 - 2cx + x^2 + y^2) latex(MF_1^2 - MF_2^2 = 4cx ?3: Có latex(MF_1- MF_2) = 2a (1) latex(MF_1^2 - MF_2^2 = (MF_1 - MF_2)(MF_1 + MF_2)) latex(4cx = 2a.(MF_1 + MF_2) nên (MF_1 + MF_2) = (2cx)/a (2) Từ (1) và (2) suy ra: latex(MF_1 = |a + (cx)/a)|; latex(MF_2 = |a - (cx)/a| Dẫn dắt:
Ta có latex(MF_1 = |a + (cx)/a| = sqrt((x + c)^2 + y^2)) => latex(|a + (cx)/a|^2 = (x + c)^2 + y^2) Rút gọn đẳng thức trên ta có: latex((x^2)/(a^2) + (y^2)/(a^2 - c^2) = 1 latex(a^2 - c^2 < 0) nên đặt: latex(a^2 - c^2 = -b^2, b > 0). Ta có: latex((x^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1 (1) Với a , b > 0 Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của Hypebol (H) Ptrình chính tắc của hypebol: Phương trình chính tắc của hypebol
Phương trình chính tắc của Hypebol: Trong đó: - latex(F_1 và F_2) là tiêu điểm của hypebol. - Khoảng cách latex(F_1F_2) = 2c là tiêu cự của hypebol. - Các đoạn thẳng latex(MF_1 và MF_2) là bán kính qua tiêu của điểm M latex((x^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1 (a > b > 0) Bài tập 2: Bài tập 2
Phương trình chính tắc của hypebol đi qua điểm (4; 1) và có tiêu cự bằng latex(2sqrt(15) là
latex((x^2)/14-(y^2)/7=1)
latex((x^2)/12-(y^2)/3=1)
latex((x^2)/11-(y^2)/4=1)
latex((x^2)/9-(y^2)/4=1)
Hình dạng của hypebol
Hình dạng của hypebol: Hình dạng của hypebol
* (H) có trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng làm gốc O. Đối với phương trình chính tắc của (H) - Trục Ox là trục thực, Oy là trục ảo. - Khoảng cách 2a là độ dài trục thực, 2b là độ dài trục ảo. - Hai giao điểm của (H) với trục thực Ox gọi là hai đỉnh của (H). - (H) gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần là một nhánh của (H). - Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x = latex(+-)a, y = latex(+-)b là hình chữ nhật cơ sở của (H). - Hai đường tiệm cận của (H) có phương trình là : y = latex(+-b/a)x - Tâm sai của (H) là latex(e = c/a) (e > 1) Vẽ hypebol:
Vẽ Hypebol có phương trình: (H): latex((x^2)/9 - (y^2)/16 = 1) * (H) có hai tiêu điểm là: latex(F_1(-5; 0) và F_2(5;0) * Hai đường tiệm cận có phương trình: latex(y = 4/3x) và latex(y=-4/3x) * Tâm sai e=latex(5/3) * Hai đỉnh của (H) có toạ độ: (-3; 0) và (3; 0) * Các điểm phụ: latex(M(5; (16)/3); N(5; (-16)/3); P(-5; latex(16/3)); Q(-5; latex(-16/3)) Bài tập 3: Bài tập 3
Mỗi câu trả lời sau đúng hay sai ?
(H) có tâm sai bằng 2 và tiêu cự bằng 4 là latex(x^2-(y^2)/3=1
(H) có tâm sai là latex(7/6) và đi qua điểm (6; 0) là latex((x^2)/36-(y^2)/27=1
(H) có trục thực dài gấp đôi trục ảo và có tiêu cự bằng 10 là latex((x^2)/20-(y^2)/5=1
(H) có latex(F_2= (sqrt(10); 0)) và một tiệm cận latex(3x+y=0 là x^2-(y^2)/9=1
Bài tập 4: Bài tập 4
Chọn câu trả lời đúng trong các câu dưới đây. Cho hypebol (H): latex((x^2)/9-(y^2)/5=1)
(H) có một tiêu điểm là (2; 0)
(H) có trục thực bằng 10
Phương trình một đường tiệm cận của (H) là: y = latex(-sqrt5/3x
Tâm sai của (H) là e = latex(sqrt(14)/3